Гл. 7.

Крутильные колебания

Рис. 7.14. Одно-, двух- и трехмассовые крутильные системы

Введение . В дизельной установке крутильные колебания испытывают коленчатый вал, промежуточные и гребной валы с навешенными на них массами (детали механизма движения отдельных цилиндров, маховик, соединительные муфты, гребной винт), связанные в единую упругую систему валопровода.

Крутильные колебания представляют собой периодические колебания в плоскости вращения навешенных на вал масс, при которых участки вала между массами скручиваются и раскручиваются под действием циклически меняющегося крутящего момента.

Любая конструкция под действием переменных сил испытывает два вида колебаний - свободные и вынужденные.

Свободные колебания . Эти колебания рассмотрим на примере простейшей крутильной системы, состоящей из вала длиной L, жестко закрепленного одним концом, и массы в виде диска 1, центр тяжести которого лежит на оси вала (рис.7. 14,а). Если к массе приложить момент М кр , то вал окажется скрученным (в пределах упругих деформаций) на угол +φ. В скрученном валу возникнет момент от сил упругости материала вала M y . Допустим теперь, что действие момента М Кр мгновенно прекратится. Под действием момента М у система будет возвращаться в исходное положение, однако вследствие инерции массы 1 она не остановится в положении равновесия и вал вновь окажется скрученным, но уже в обратном направлении (на угол - φ). Упругость вала снова вызовет поворот массы, и она по инерции перейдет через положение равновесия, т. е. процесс повторится.

Таким образом, после прекращения действия внешнего момента система будет совершать свободные колебания только за счет сил упругости материала вала и силы инерции массы. При этом вал будет скручиваться то в одном, то в другом направлениях. Принципиально ничего не изменится, если жесткое закрепление свободного конца вала заменить значительным сопротивлением колебаниям (например, насадить на вал гребной винт или маховик генератора) и, если во время совершения колебаний вал одновременно будет равномерно вращаться. При отсутствии сопротивлений свободные колебания могли бы продолжаться бесконечно долго с неизменными амплитудой и частотой.

Амплитуда колебаний (угол скручивания вала)

(7.23)

где М кр - крутящий момент,

l - длина вала,

G - модуль упругости материала вала,

I р - полярный момент инерции сечения вала,

с - крутильная жесткость вала,

е - податливость вала.

Частота колебаний (число циклов колебаний в секунду)

(7.24)

где θ - момент инерции массы относительно оси вала. Рассмотренная простейшая крутильная система является одномассовой. Закрепив на свободном конце вала еще одну массу в виде диска (рис. 7.14,6), получим двухмассовую крутильную систему.

Если к массам 1 и 2 приложить моменты М кр и М с противоположных знаков, а затем мгновенно их снять, то при упругом колебании такой системы некоторое сечение вала (УУ) будет оставаться в покое, т. е. угловая амплитуда (угол скручивания φ) будет равна нулю. Это сечение вала называется узлом колебаний . Если отложить на диаграмме (см. рис.7.14) в соответствующем масштабе максимальные значения угловых амплитуд масс и соединить полученные точки прямой, то получим график угловых амплитудных отклонений масс от положения равновесия, иллюстрирующий форму колебаний. У двухмассовой системы форма колебаний имеет только один узел (точка У) и называется одноузловой.

В общем случае у многомассовой системы с i массами максимально возможное число форм колебаний равно i-1 . Действительная крутильная схема системы валопровода является сложной многомассовой системой, но при определении частоты свободных колебаний ее обычно упрощают и приводят к трехмассовой системе: двигатель-маховик-гребной винт (рис. 7.14, б). Такая система может иметь как одноузловую, так и двухузловую формы колебаний.

Каждая форма имеет свою частоту свободных колебаний, причем, чем выше форма колебаний (т. е. чем больше узлов), тем больше частота колебаний.

Вынужденные колебания. Эти колебания в системе валопровода возникают под действием периодически изменяющихся крутящих моментов от сил давления газов в цилиндрах и сил инерции поступательно движущихся масс. Указанные моменты называются возмущающими и, как известно, для одного цилиндра определяются выражениями:

Моменты М Г и Mj являются сложными периодическими функциями и в целях упрощения анализа могут быть разложены на элементарные составляющие - гармоники, изменяющиеся по закону синуса с различными амплитудами и частотами. Например, крутящий момент от сил давления газов можно представить в виде ряда

М г = М ср + M 1 + М 2 + М 3 + ... + М к +…, (7.25)

где М cр - средний крутящий момент одного цилиндра за цикл; М 1 , M 2 , М 3 ...,М к - текущие значения гармонических составляющих.

Подобным образом можно разложить в ряд крутящий момент от сил инерции поступательно движущихся масс. Такое разложение называется гармоническим анализом крутящего момента двигателя.

Каждая гармоника имеет свой порядок, который показывает число полных изменений гармоники за один оборот вала. Так как в четырехтактном двигателе рабочий цикл осуществляется за два оборота вала, а в двухтактном - за один, то 1, 2, 3 и к-и . члены выражения (7.25) будут являться гармониками в двигателях: двухтактных - 1, 2, 3, к-го порядка; четырехтактных -1/2, 1, 1 1/2, к/2-го порядка.

Каждая гармоника возбуждает в валу вынужденные колебания определенной частоты, пропорциональной порядку гармоники к и частоте вращения вала п, т. е. v в =кп кол/мин.

Наибольшие амплитуды колебаний вызывают гармоники, порядок которых равен или кратен числу вспышек в цилиндрах за один оборот вала двигателя (главные гармоники). Наименьший порядок главной гармоники к = i / т , где i - число цилиндров; т - коэффициент тактности двигателя. Остальные порядки главных гармоник будут кратны ему. Например, для шестицилиндрового четырехтактного двигателя к = 6/2 = 3 (кратные порядки: 6, 9, 12 и т. д.), для двухтактного двигателя к = 6/1 = 6 (кратные порядки: 12, 18, 24 и т. д.).

Таким, образом, вынужденные крутильные колебания под действием крутящего момента можно рассматривать как сумму гармонических колебаний под действием отдельных составляющих этого момента.

Средний крутящий момент М ср (постоянная составляющая полного момента) не вызывает крутильных колебаний и приводит валовую систему во вращение, создавая постоянное напряжение скручивания Т ср на участке валопровода между двигателем и гребным винтом.

Гармонические составляющие полного момента являются возмущающими моментами, вызывающими крутильные колебания, дополнительные знакопеременные напряжения σ доп , которые накладываются на постоянное напряжение от М cр , снижая прочность коленчатого вала и валопровода.

Резонанс, критическая частота вращения и запретные зоны

Совпадение частоты какой-либо формы свободных колебаний с частотой какой-либо гармонической составляющей возмущающего момента называется резонансом, а частота вращения, при которой наступает резонанс, называется критической (или резонансной) частотой.

Из равенства частот v c = v в = кп кол./с вытекает, что критическая частота вращения

C -1 (7.26)

При резонансе амплитуда крутильных колебаний (угол скручивания вала) и пропорциональные ей дополнительные напряжения кручения увеличиваются и могут оказаться опасными для прочности вала и вызвать его поломку (рис. 7.15, а, б). Опасные режимы работы можно определить с помощью графика (см. рис.7.15, б).

На рис. 7.15, а резонансные частоты появляются при пересечении линий собственных колебаний вала двигателя v c 1 и v c 2 с двумя гармоническими составляющими вынужденных колебаний v b 1 и v b 2 .

На этот же график наносится линия допускаемого напряжения от крутильных колебаний σ доп установленного из соображений усталостной прочности материала вала. Если линия допускаемого напряжения не пересекает резонансных кривых, резонансные напряжения особой опасности не представляют и режимы п кр2 и п кр3 допустимы для длительной работы. Режим п кр1 опасен для длительной работы, так как прямая допускаемого напряжения отсекает на резонансной кривой участок чрезмерно больших напряжений.

Диапазон частот вращения вблизи п кр1 ( n 1 - n 2 ), называемый критически опасным для длительной работы.

Он является запретной зоной. На циферблатах тахометров запретные зоны частот вращения отмечают красными секторами. Длительная работа в пределах этой зоны недопустима, и переходить ее надо быстро.

Критическую частоту вращения можно установить не только расчетным путем, но и при помощи специального прибора-торсиографа, позволяющего снимать с работающего двигателя графики крутильных колебаний (торсиограммы).

Внешние признаки работы двигателя в зоне критических частот вращения:

сильная вибрация и резкие стуки в двигателе вследствие периодического изменения угловой скорости отдельных кривошипов,

нагрев отдельных участков валопровода (иногда до появления цветов побежалости) вследствие внутреннего трения частиц металла при упругих деформациях кручения.

Если запретная зона частот вращения оказывается в области рабочих режимов двигателя, принимают меры для смещения п кр за пределы этой области. Для этого еще в процессе проектирования установки изменяют частоту свободных колебаний системы путем изменения момента инерции GIp сечения коленчатого вала или валопровода (изменением диаметра вала ), либо моментов инерции θl маховых масс (изменением массы маховика, гребного вала или установкой динамических гасителей колебаний - антивибраторов ), здесь l - расстояние между массами, м.

Иногда прибегают к уменьшению амплитуды резонансных колебаний изменением порядка вспышек в цилиндрах (что не всегда возможно); разделением крутильной системы путем установки между двигателем и валопроводом гидромуфты; установкой специальных гасителей крутильных колебаний - демпферо в (см. рис. 7.16) Общим для всех существующих типов демпферов является наличие между маховой массой и ступицей элемента с трением, поглощающего часть колебательной энергии системы. Сегодня наибольшее распространение находят силиконовые демпферы. Ступица силиконового демпфера (рис. 7.16) жестко крепится к носовому фланцу коленчатого вала, а маховик (свободная масса) размещается внутри корпуса, составляющего одно целое со ступицей. Между поверхностями маховика и корпуса демпфера имеются зазоры в 0,2-0,5 мм, заполняемые силиконовой жидкостью. Энергия крутильных колебаний поглощается трением, возникающим в вязкой среде при относительном движении маховика.

В качестве силиконовой жидкости обычно применяется полиметилсилоксановая жидкость (GVC ). Она обладает рядом ценных свойств: химически инертна, малая зависимость вязкости от температуры (в сравнении с обычными моторными маслами), низкая температура застывания, хорошая смазывающая способность.

На рис. 7.17 представлен демпфер продольных колебаний, поршень которого жестко связан с валом двигателя, а корпус присоединен к остову двигателя. Полости перед поршнем и за ним заполняются маслом, поступающим под давлением из масляной магистрали. Энергия продольных колебаний гасится на перетекание масла из полостей через дросселирующие отверстия .

§ 7. 4. Продольные и крутильные колебания вала

Продольные колебания

Этот вид колебаний возникает под действием тангенциальной Т и радиальной Z составляющих сил действия газов и сил инерции масс, нагружающих кривошипы коленчатого вала и вызывающих деформацию колен в виде попеременного расхождения или сближения щек (рис. 7.12). В итоге вал приобретает колебания вдоль оси, которые передаются упорному подшипнику, а через него фундаменту и корпусу судна. Продольные колебания стали особенно заметными с ростом форсирования двигателей, так как увеличилось отношение p z /р е с 7,5 до 10. Продольные колебания возбуждаются также меняющимся упором гребного винта из-за пульсирующего характера действия воды на вращающиеся лопасти и крутильных колебаний валопровода и винта. В целях уменьшения продольных колебаний коленчатого вала и вызываемых ими вибраций судна на носовой фланец вала устанавливают гидравлический демпфер поршневого типа (см. рис. 7.17).

Рис. 7.12. Схема деформациии кривошипа при продольных колебаниях

Колебания в поперечной плоскости

Малооборотный крейцкопфный двигатель, имеющий большую высоту, раскачивается в поперечной плоскости под действием моментов, возникающих в пределах каждого цилиндра от нормальных сил N , передаваемых через крейцкопфный узел параллелям. Частота этих колебаний невелика и равна произведению п i (где i - число цилиндров). Для самого двигателя эти колебания неопасны, но они могут вызвать нежелательные высокие местные напряжения в наборе второго дна корпуса судна под фундаментом двигателя. Чтобы этого избежать, остов двигателя в его верхней части раскрепляется с набором корпуса судна в зоне главной палубы с помощью двух пар поперечных связей 1 (рис. 7.13), снабженных эластичным гидравлическим звеном 2. Наличие этого звена позволяет сохранять постоянной силу натяжения связей вне зависимости от возможных при изменении загрузки судна (плавание в балласте или в грузу) деформаций его корпуса.

§ 7.5. Вибрация корпуса судна

При работе двигателя возникает вибрация как его самого, так и корпуса судна, особенно его кормовой оконечности, трубопроводов, механизмов и пр. Вибрация усиливается при достижении определенной частоты вращения вала двигателя, когда наступает явление резонанса. Резонансные зоны меняются при изменении загрузки судна, мест и способов крепления трубопроводов, механизмов, так как это сказывается на частоте их свободных колебаний. Иногда под действием вибрации в конструкциях образуются трещины.

Источником возмущающих сил являются:

внешне неуравновешенные силы инерции вращающихся и поступательно движущихся масс I и II порядков, под действием которых возникают колебания в горизонтальной и вертикальной плоскостях;

моменты сил инерции центробежных, I и II порядков, стремящиеся опрокинуть двигатель в вертикальной продольной, поперечной и горизонтальной плоскостях, проходящих через его центр тяжести, и вызывающие изгибные колебания корпуса судна в этих плоскостях;

опрокидывающий момент двигателя М опр , действующий в поперечной плоскости и вызывающий колебания в этой плоскости;

силы, вызывающие продольные колебания вала двигателя и создающие в корпусе судна колебания в диаметральной плоскости;

крутильные колебания вследствие неравномерности создаваемого двигателем крутящего момента.

Если структура корпуса судна недостаточно прочная и двигатель работает на оборотах, частота которых совпадает с частотой свободных колебаний самого корпуса, то возникающий резонанс может привести к весьма серьезным последствиям. Единственный способ уйти от резонанса - изменить число оборотов двигателя. В последующем следует искать источник возникающих колебаний и постараться его устранить.

Ослабить вибрацию корпуса судна можно путем локализации колебаний двигателя введением упругой связи между ним и фундаментом. В качестве упругой связи используют резинометаллические или пружинные амортизаторы, устанавливаемые между двигателем и его фундаментом.

Для того чтобы понять сущность действия амортизатора, рассмотрим упрощенную схему (рис. 7.18), в которой двигатель представлен в виде массивного тела массой m , закрепленного на пружине жесткостью С. Свободные колебания такой системы будут происходить с частотой

Вынужденные колебания тела вызываются возникающей в нем переменной силой Р, частота изменения которой и соответственно частота вынужденных колебаний v B . Сила Р, будучи неуравновешенной, через пружину частично или полностью передается основанию, возбуждая в нем также колебания. Если обозначить передаваемую силу на нижнем конце пружины через Z , то отношение К = Z / P , называемое коэффициентом передачи, может быть представлено

(7.28)

Из выражения видно, что коэффициент передачи К зависит от соотношения между частотами вынужденных и свободных колебаний тела, но поскольку частота вынужденных колебаний определяется частотой изменения силы и изменить ее нельзя, то для уменьшения коэффициента К остается единственный путь - увеличение отношения v b / v c путем уменьшения частоты свободных колебаний. Последняя, как это следует из формулы (7.27), зависит от жесткости С пружины.

Таким образом, чтобы уменьшить силы, передаваемые двигателем судовому фундаменту, нужно добиться уменьшения коэффициента передачи К путем снижения частоты колебаний v c и соответствующего уменьшения жесткости С амортизатора.

На амортизаторы можно устанавливать лишь двигатели с жестким остовом, в противном случае не исключена деформация фундаментной рамы, являющейся постелью рамовых подшипников. Установка на амортизаторы требует разобщения вала двигателя с валопроводом с помощью гибкой муфты и наличия гибких соединений подходящих к нему трубопроводов, в том числе и выпускного.

K = Z / Р

Из рисунка видно, что если жесткость пружины

Рис. 7.19. Влияние отношения частот свободных и вынужденных колебаний на коэффициент передачи силы: 1 - без демпфера; 2-с демпфером.

принять бесконечно большой и, тем самым, практически исключить гибкую связь между массой и основанием, то коэффициент передачи будет близок к единице и сила Р будет полностью передаваться основанию. С уменьшением жесткости С коэффициент передачи должен уменьшаться. Однако, в связи с тем, что v B / v c приближается к единице, когда колебания входят в резонанс, амплитуда колебаний резко возрастает, и это влечет за собой увеличение коэффициента передачи практически до бесконечности.

Обычно эластичные амортизаторы применяются при установке дизель-генераторов, имеющих общую раму и не требующих разъединения двигателя и генератора с помощью эластичных муфт (рис. 7.20).

Литература

2.Возницкий И. В. Судовые двигатели внутреннего сгорания. Том 2. / И.В.Возницкий, А.С.Пунда – М.:МОРКНИГА, 2010.- 382 с. Стр. 178-188

4.Возницкий И. В. Судовые двигатели внутреннего сгорания. Том 2. / И.В.Возницкий, А.С.Пунда – М.:МОРКНИГА, 2008.- 470 с. Стр. 231-242

5.Возницкий И. В. Судовые дизели и их эксплуатация / И.В.Возницкий, Е.Г.Михеев – М.:Транспорт, 1990. - 360 с. Стр. 272-276

Цель работы : определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, иссле­дование влияния на момент инерции переноса осей вращения (про­верка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности : трифилярный подвес, секундомер, штан­ген­циркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется плечом силы?

4. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы из­мерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

9. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

10. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает кру­тильные колебания?

11. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n эле­ментарных масс Dm i , находящихся на расстоянии r i от оси вра­щения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угло­вые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной точки численно равен произведению массы точки Dm i на квадрат расстояния r i от оси вращения: Dm i ×r i 2 . Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью w и угловым ускорением b:

w = ; b = , (3)

где j - угловое перемещение тела.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d): J = J 0 + md 2 . (5) Например. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О"О’ 1 , проходящей через конец стерж­ня (рис.1). По теореме Штейнера J = J 0 + md 2 . Момент инерции относительно оси oo 1 , прохо­дящей через центр масс, J 0 равен: . Следовательно, . На практике момент инерции тела мож­но определить методом трифилярного подвеса. Трифилярный под­вес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укреплен­ных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вер­тикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной мо­мента инерции платформы, он будет другим, если платформу на­грузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей работе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направле­нии, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно E 1 = mgh. Вращаясь в другом направле­нии, платформа пройдет через положение равновесия с кинетичес­кой энергией, равной , где J - момент инерции платформы; w 0 - угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем: Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения j платформы от времени в виде: , (7) где a 0 - амплитуда колебаний, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной j по времени, выражается как: В момент прохождения через положение равновесия (t = 0; (1/2)T; (3/2)Т и т.д.) абсолютное значение этой величины будет Из (6) и (9) имеем: . (10) Поворот платформы на угол a 0 около оси ОО" соответствует ее поднятию на высоту h. Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхне­го диска, то легко видеть (рис. 3), что . Так как (ВС) 2 = (АВ) 2 - (AC) 2 = l 2 - (R - r) 2 , (ВС 1) 2 = (ВА 1) 2 - (А 1 С 1) 2 = l 2 - (R 2 + r 2 - 2R×r×cosa 0), то . При малых углах отклонения a 0 значение синуса этого угла можно заменить просто значением a 0 (a® sina » a), а величину знаменателя при выполнении условия (R - r)<l . Тогда h = и mg = × , По формуле (11) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно из­мерены. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движе­ние рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых за­трудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - стержень на подставке. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Сообщают пустой платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 20 полных колебаний (t 0), что да­ет возможность достаточно точно определять величину периода Т 0 . 2. По формуле (11) определяют момент инерции пустой плат­формы J 0 . 3. Путем взвешивания определяют массу исследуемого тела (m), а затем нагружают им платформу и вновь измеряют время t 20 колебаний, а затем и период колебания Т всей системы. 4. По формуле (11) вычисляют момент инерции всей сис­темы J 1 , принимая ее массу равной сумме масс тела (m) и платформы (m 0). Величина момента инерции тела J определяется как разность J = J 1 - J 0 . 5. Данные заносятся в таблицу 1 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности. 6. При помощи трифилярного подвеса проверяется теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инерции этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. Затем оба тела располага­ют симметрично на платформе и определяют их момент инерции. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси враще­ния. Зная это расстояние, массу тела, момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера. Таблица 1 № п/п r, м Dr, м R, м DR, м l , м m 0 , кг t 0 , c T 0 c DT 0 , c m, кг t, с Т, с DТ, с Среднее значение Тела на платформе следует располагать строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. При измерениях необходимо использовать амплитуды колебаний, большие чем 5-6°. 1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989. 2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. С. I69-I93. 3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. § 11-13. 4. Грабовский В.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1970. §21-23. 5. Эткинс П. Физическая химия. - М.: Мир. 1980. 6. Кац Ц.Б. Биофизика на уроках физики. - М.: Просвещение, 1988.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика»

№ 3. Определение моментов инерции тел с помощью трифилярного подвеса

Лабораторная работа № 3

Определение моментов инерции тел

с помощью трифилярного подвеса

и проверка теоремы Штейнера

Цель работы

Определение моментов инерции некоторых тел методом крутильных колебаний с помощью трифиллярного подвеса;

Проверка теоремы Штейнера.

Приборы и принадлежности

Трифиллярный подвес, секундомер, линейка, штангенциркуль, исследуемые тела (два диска-груза).

Краткая теория

Одним из методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифиллярного подвеса, совершающего крутильные колебания.

Поэтому, вначале определим, какие колебания называются крутильными, затем ознакомимся с устройством трифиллярного подвеса.

Рис. 1. Крутильные колебания

Гармоническими крутильными колебаниями тела называются периодические движения относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, когда угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. 1 ):

где – амплитуда колебаний;

– период колебаний.

Устройство трифиллярного подвеса

Трифиллярный подвес состоит из подвижного диска платформы Р (в дальнейшем просто платформа) массой, радиуса, подвешенного на трех симметрично расположенных нитях (рис 2. a ). Наверху эти нити симметрично закреплены по краям диска Р" меньшего радиуса.

При повороте верхнего диска P" на небольшой угол вокруг вертикальной оси OO" все три нити принимают наклонное положение. Центр тяжести системы несколько приподнимается по оси вращения OO" (рис. 2. b ).

Рис. 2. Трифилярный подвес

Период крутильных колебаний и момент инерции плат­формы

Пусть при вращении платформа поднимется на высоту, тогда приращение ее потенциальной энергии равно

где – ускорение свободного падения.

При вращении платформы в обратную сторону потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

где – момент инерции платформы;

– ее угловая скорость.

В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия максимальна . Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии можно записать для колеблющейся платформы

Угловую скорость платформы можно найти, взяв производную по времени от (см. (1))

Очевидно, что

Найдем величинупри поворотах платформы на угол 0 , считая, что (– длина нити)

(4)

Из рис. 2 а, b видно, что

Подставляя значенияив формулу (4) получим

Ввиду малости угла  0 синус заменим аргументом

Подставляя выражения (3) и (5) в формулу (2), получим окончательно

Поскольку параметры прибора,,во время опыта не меняются, формулу (6) удобно применять в виде

Аддитивность моментов инерции

Аддитивность (лат. additivus – прибавляемый) - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям.

Например, аддитивность объёма означает, что объём целого тела равен сумме объёмов составляющих его частей. Примеры аддитивных величин: энергия, импульс, энтропия, мощность, давление, электрический заряд.

Общий момент инерции нескольких тел равен сумме моментов инерции отдельных тел, если центр масс каждого из них лежит на оси вращения.

Если на платформу поместить некоторое тело массой, так, чтобы равномерное натяжение нитей не нарушалось, то момент инерцииэтой системы находят по формуле (6) или (7), где вместобудет сумма масс .

А так как момент инерции величина аддитивная , т.е., то можно определить момент инерции исследуемого тела:

где ,– момент инерции платформы и груза.

Теорема Штейнера

Момент инерции телаотносительно произвольной осиAA ’ равен сумме момента инерциитела относительно осиBB ’ , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С , и произведения массы телана квадрат расстояниямежду осями (рис. 3 )

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси AA ’ , равен моменту инерции относительно оси BB ’ , проходящей через центр масс, плюс

Таким образом, с удалением центра масс тела от оси вращения его момент инерции относительно этой оси возрастает. Момент инерции системы тел зависит не только от его массы, но и от распределения масс в системе относительно оси вращения.

Рис. 3. Теорема Штейнера

Ход работы

где – число полных колебаний.

Таблица 1.1

Среднее значение

Таблица 1.2

Таблица 2.1

Среднее значение

Определить момент инерции платформы с грузами в центре по формуле (6).

1.1 Крутильные колебания двухмассовой системы

Сложные схемы конструкций коробок скоростей и коробок подач при расчетах динамических характеристик приводятся к более простым двухмассовым или трехмассовым системам.

Примером простейшей двухмассовой системы может служить гладкий цилиндрический вал с двумя дисками на противоположных концах.

Рис.1. Расчетная схема для определения крутильных колебаний

Диски диаметром D 1 , D 2 и массой т 1 , т 2 имеют моменты инерции масс J 1 =m 1 (D 1 ) 2 /8 и J 2 =m 2 (D 2 ) 2 /8 относительно оси вращения. Диски закреплены на концах вала длиной L , имеющим коэффициент крутильной жесткости с=GI p /L , где G - модуль упругости второго рода материала вала, J p - полярный момент инерции сечения вала. Первоначально вал с дисками был закручен на некоторый угол. В результате закручивания к дискам приложены разнонаправленные упругие моменты М 1 и М 2 .

По длине вала имеется некоторое промежуточное сечение А , называемое узлом колебаний, которое не принимает участия в колебаниях, т.е. это сечение не смещается относительно исходного состояния и расположено на расстояниях l 1 и l 2 от соответствующих дисков. Таким образом, первый диск закрутится относительно сечения А на угол 1 , а второй диск в противоположную сторону на угол 2, так что = 1 + 2 . Если пренебречь трением в подшипниках вала, можно записать уравнения колебаний каждого диска относительно сечения А .

где - коэффициенты крутильной жесткости соответствующих участков вала l 1 и l 2 ;

Полярные моменты инерции сечения соответствующих участков вала.

Так как упругие моменты равны между собой (М 1 =М 2 ) и вал имеет постоянный диаметр по всей длине, то

с 1 =с 2 ;

Если крутильные колебания происходят по синусоидальному закону с амплитудами угловых перемещений Ф 1 и Ф 2 , уравнения изменения углов закручивания дисков во времени будет иметь вид

1 =Ф 1 sin (щ 01 t+ 01 ); 2 =Ф 2 sin (щ 02 t+ 02).

гдещ 01 , щ 02 , 01 , 02 - частоты собственных колебаний и начальные углы.

Так как колебания дисков относительно сечения А происходят с одинаковой частотой, то щ 01 = щ 02 = щ 0 и 01 = 02 = 0 . Продифференцировав два раза последние уравнения и подставив значение второй производной угла закручивания в уравнение упругих моментов получим

или Ф 1 *J 1 = - Ф 2 *J 2 .

Знак "-" показывает, что угловые амплитуды направлены при крутильных колебаниях в противоположные стороны. Из уравнения видно, что угловая амплитуда диска с большим моментом инерции меньше.

Аналогично можно получить зависимость положения узла колебаний - сечения А от моментов инерции дисков

или l 1 *J 1 = l 2 *J 2 .

Уравнение показывает, что узел колебаний находится ближе к тому диску, момент инерции которого больше. При бесконечно большом моменте инерции одного диска возникает частный случай - заделка вала в массивную стенку. Узел колебаний находится в месте заделки.

Угловая частота щ 0 , рад/с, собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор

Частота собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор f 0 , Гц

f 0 = щ 0 / (2р).

Частота собственных крутильных колебаний растет при уменьшении длины и увеличении диаметра вала, а также при уменьшении момента инерции любого диска.

Важным случаем упругих колебаний являются так называемые крутильные колебания, при которых тело переворачивается туда и обратно около оси, проходящей через его центр тяжести.

Если, например, подвесить на проволоке диск (рис. 18), повернуть его так, чтобы проволока закрутилась, и затем отпустить, то диск начнет раскручиваться, закрутится в обратную сторону и т. д., т. е. будет совершать крутильные колебания. При этом также дважды за период имеет место переход кинетической энергии движущегося диска в потенциальную энергию (энергию деформации) закручивающейся проволоки и обратно. Крутильные колебания нередко имеют место в валах двигателей, в частности в гребных валах теплоходных машин, и при известных условиях, о которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными (§ 15).

Рис. 18. Крутильные колебания диска, подвешенного на проволоке

В ручных и карманных часах нельзя использовать подвесной маятник; в них применяется так называемый балансир (рис. 19) - колесико, к оси которого прикреплена спиральная пружина («волосок»). Балансир периодически поворачивается туда и обратно, причем при этих крутильных колебаниях пружинка изгибается (раскручивается и закручивается) в обе стороны от своего равновесного состояния. Таким образом, балансир представляет собой крутильный маятник.

Рис. 19. Часовой балансир

Для периода крутильных колебаний сохраняют силу те же закономерности, что и для периода любых упругих колебаний: период тем больше, чем меньше жесткость системы и чем больше ее масса (при неизменной форме).

При крутильных колебаниях существенна не только масса тела, но и ее распределение относительно оси вращения. Если, например, мы подвесим на проволоке гантель, состоящую из спицы, на которую симметрично насажены два одинаковых груза и (рис. 20), то при раздвигании грузов частота крутильных колебаний будет уменьшаться. Хотя масса гантели остается прежней. Оставляя грузы и на прежних местах, но беря их более массивными, мы увидим, что частота тоже делается меньше.

Рис. 20. Крутильные колебания гантели

Крутильные колебания при больших углах закручивания (малых угловых амплитудах) также являются гармоническими. Период их определяется соотношением

где - жесткость системы. Численно жесткость равна вращающему моменту, дающему поворот на радиан. Если упругие силы обусловлены закручиванием нити или проволоки, то - это так называемая крутильная жесткость этих тел. Величина характеризует распределение массы относительно оси вращения (так называемый момент инерции, играющий во вращательном движения такую же роль, какую играет масса в поступательном движении). Например, для гантели где - масса каждого груза, а - расстояние от грузов до оси вращения.