Важным случаем упругих колебаний являются так называемые крутильные колебания, при которых тело переворачивается туда и обратно около оси, проходящей через его центр тяжести.
Если, например, подвесить на проволоке диск (рис. 18), повернуть его так, чтобы проволока закрутилась, и затем отпустить, то диск начнет раскручиваться, закрутится в обратную сторону и т. д., т. е. будет совершать крутильные колебания. При этом также дважды за период имеет место переход кинетической энергии движущегося диска в потенциальную энергию (энергию деформации) закручивающейся проволоки и обратно. Крутильные колебания нередко имеют место в валах двигателей, в частности в гребных валах теплоходных машин, и при известных условиях, о которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными (§ 15).
Рис. 18. Крутильные колебания диска, подвешенного на проволоке
В ручных и карманных часах нельзя использовать подвесной маятник; в них применяется так называемый балансир (рис. 19) - колесико, к оси которого прикреплена спиральная пружина («волосок»). Балансир периодически поворачивается туда и обратно, причем при этих крутильных колебаниях пружинка изгибается (раскручивается и закручивается) в обе стороны от своего равновесного состояния. Таким образом, балансир представляет собой крутильный маятник.
Рис. 19. Часовой балансир
Для периода крутильных колебаний сохраняют силу те же закономерности, что и для периода любых упругих колебаний: период тем больше, чем меньше жесткость системы и чем больше ее масса (при неизменной форме).
При крутильных колебаниях существенна не только масса тела, но и ее распределение относительно оси вращения. Если, например, мы подвесим на проволоке гантель, состоящую из спицы, на которую симметрично насажены два одинаковых груза и (рис. 20), то при раздвигании грузов частота крутильных колебаний будет уменьшаться. Хотя масса гантели остается прежней. Оставляя грузы и на прежних местах, но беря их более массивными, мы увидим, что частота тоже делается меньше.
Рис. 20. Крутильные колебания гантели
Крутильные колебания при больших углах закручивания (малых угловых амплитудах) также являются гармоническими. Период их определяется соотношением
где - жесткость системы. Численно жесткость равна вращающему моменту, дающему поворот на радиан. Если упругие силы обусловлены закручиванием нити или проволоки, то - это так называемая крутильная жесткость этих тел. Величина характеризует распределение массы относительно оси вращения (так называемый момент инерции, играющий во вращательном движения такую же роль, какую играет масса в поступательном движении). Например, для гантели где - масса каждого груза, а - расстояние от грузов до оси вращения.
Вынужденные колебания возбуждаются внешними периодически изменяющимися силами. Особенно опасными являются резонансные колебания, возникающие при совпадении собственной частоты и частоты внешних сил.
В расчетах силовых установок с поршневыми двигателями учитывают нижеследующие внешние возбудители .
Моменты от сил давления газов в цилиндрах двигателя или компрессора (главные возбудители крутильных колебаний)
где радиус кривошипа; тангенциальная сила, направленная перпендикулярно кривошипу, для одного цилиндра, отнесенного к единице площади поршня; площадь поршня.
Гармонические составляющие силы могут быть определены по справочные данным, приведенным на рис. 10 и 11 (при можно экстраполировать данные, продолжив кривые прямыми).
Гармоники тангенциальных сил 3-го порядка и выше для четырехтактного бензинового двигателя могут быть определены по формуле
где среднее индикаторное значение давления, степень сжатия двигателя; порядок гармоники (начиная с 3-й и выше).
Для гармоник порядков можно пользоваться следующими данными:
Здесь и в формуле (17) значения представляют собой гармоники тангенциальных газовых сил на единицу площади поршия одного цилиндра.
Для определения амплитудного значения гармонической силы, приложенной к колену вала, в случае действия на него многих цилиидров векторно складывают гармоники газовых сил всех цилиндров в предположении постоянства значений для всех цилиндров.
Если колено воспринимает силу от нескольких цилиндров, то при сложении моментов следует принять во внимание сдвиг по времени между кривыми тангенциальной силы от этих цилиндров, соответствующий интервалу между вспышками.
В табл. 4 приведены справочные данные для звездообразных двигателей с разным числом цилиндров.
Моменты от сил инерции движущихся масс кривошипно-шатунного механизма (следует учитывать только при определении гармоник низших порядков - от 1-й
где масса поступательно движущихся частей кривошипно-шатунного механизма одною цилиндра; - угловая скорость вала; отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.
4. Гармоники крутящего момента в от среднего крутящего момента однорядного звездообразного двигателя (с учетом сил инерции)
(см. скан)
Моменты от сил тяжести кривошипно-шатунного механизма имеют малую величину и учитываются только для тяжелых тихоходных двигателей. Эги моменты слагаются из крутящего момента, вызываемого силой тяжести поступательно движущейся части (поршневой комплект и часть шатуна)
и крутящего момента, вызываемого силами тяжести вращающейся части кривошипно-шатунного механизма (часть шатуна, цапфа и щеки колена),
Суммарный возбуждающий крутящий момент любого порядка, определяется векторным сложением с учетом фаз гармонических моментов от газовых и инерционных сил данного порядка, действующих на кривошип цилиндра двигателя. Моментами от сил тяжести пренебрегают из-за их малости.
В табл. 5 приведены величины фазовых углов, необходимых для сложения гармоник газовых и инерционных моментов.
5. Величины фазовых углов сил и
(см. скан)
Если возмущающий крутящий момент порядка, приложенный к первому кривошипу, а угол между первым и кривошипом то гармонический момент, приложенный к кривошипу, Величина векторной суммы амплитуд крутящих момешов определяет развитие колебаний вала.
Зубчатые колеса редукторов могут быть возбудителями крутильных колебаний из-за погрешностей при их изготовлении. Частота крутильных возмущений зависит от числа зубьев делительного колеса станка, на котором обрабатывается колесо. Число зубьев соответствует числу волн ошибки на колесе. Следовательно, частота возмущения
Число оборотов зубчатого колеса.
Максимальная частота крутильных колебаний
где число зубьев зубчатого колеса.
Кроме того, могут иметь место низкочастотные составляющие спектра крутильных колебаний от накопленных погрешностей окружного шага. Частота этих колебаний где
Интенсивность крутильных колебаний зависит от точности изготовления колес и сборки редуктора.
Если динамический крутящий момент превысит средний, то будет двусторонний удар зубьев. Амплитуда таких колебаний не может быть определена расчетом. Схематизация зубчатых передач приведена в работе .
Вынужденные нерезонансные колебания возникают при условии Амплитуды их, как правило, малы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для массы имеет вид
Решения линейных дифференциальных уравнений типа (20) общеизвестны . Для упрощения расчета разветвленную систему превращают в цепочную, используя метод приведения масс приведены данные для двухмассной системы - пренебрежение трением вне интервала частот ±10% резонансной частоты при логарифмическом декременте колебании и вне интервала ±20% при приводит к ошибкам в вычислении упругого момента на 10%.
2. При малом трении в системе форма резонансных колебаний близка к форме свободных колебаний на резонирующей собственной частоте. Если трение велико, отличие может быть существенным (см. пространстренное изображение формы колебаний на рис. 13), особенно в случаях, когда демпфирующие элементы расположены на массах с большими относительными амплитудами. В этом случае максимумы амплитуд колебаний разных масс достигаются на различных частотах внешних сил и на частотах, меньших собственных частот системы.
3. При изменении трения в каком-либо месте системы в широких пределах все резонансные кривые проходят через узкие области изменения частот и амплитуд.
4. Если к некоторой массе системы присоединен контур, на который не действуют внешние моменты (инертная часть системы), то амплитуда ее колебаний имеет
минимумы на частотах, равных собственным частотам этого контура при условии заделки указанной массы. Такое явление называется эффектом линейного антивибратора.
Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ. Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркинэ. Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результатами, полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета соответствует приведенной ниже схеме:
1) задают вид искомого решения на нелинейном участке
где частота колебаний более высокой гармоники; целое число;
2) раскладывают упругий момент после подстановки (24) в ряд Фурье на периоде и удерживают только первую и гармоники:
Графический способ решения этой задачи описан в работе }