В валах поршневых машин (в двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах и т. п.) часто возникают крутильные колебания, связанные с неравномерностью (по времени) вращающего момента или момента, сопротивления.

Рис. 12.24. Конструктивная схема, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания - (автомобильные и тракторные двигатели, дизели и т. п.) и динамическая модель крутильных колебаний

Крутильные колебания могут возникать и в других машинах, если крутящий момент, передаваемый валом, не является постоянным. В качестве динамической модели при крутильных колебаниях обычно используется вал с дисками. Моменты инерции масс дисков рассматриваются как приведенные моменты инерции. Например, в поршневых машинах инерционные массы связаны с движением поршней, шатунов и других элементов и приводятся к дискам с эквивалентными моментами инерции. Жесткость участков валов, соединяющих диски принимается как эквивалентная для участков с непрямой осью (коленчатые валы и др.), при шлицевых соединениях и т. п. На рис. 12.24 показаны конструктивная схема коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и динамическая модель крутильных колебаний. Существуют более сложные модели крутильных колебаний с несколькими ветвями, что определяется конструктивными особенностями машин; остановимся на схеме «цепочной системы» (рис. 12.25).

Выведем уравнение крутильных колебаний v для системы из дисков. Рассмотрим уравнение движения диска (рис. 12.26), Обозначая угол поворота диска получим

где - крутящие моменты, действующие на диск со стороны валов правого и левого участков. Угол поворота диска зависит от времени.

Если обозначить жесткость участка , то

здесь - углы поворота конечных сечений участка; - упругий угол поворота вала на участке

где U - длина участка, - эквивалентная жесткость вала на кручение, G - модуль сдвига.

Рис. 12.25. Динамическая модель крутильных колебаний в машинах

Рис. 12.26. К выводу уравнений крутильных колебаний

Подобным образом получаем

Теперь из уравнения (155) находим

Пренебрегая моментами инерции участков вала, можем считать, уравнение (157) при дифференциальным уравнением крутильных колебаний цепочной системы. Полагая

(158)

где - амплитудное значение угла поворота, - круговая частота крутильных колебаний, из уравнения (157) получим

Это и есть уравнение амплитудных углов поворота при крутильных колебаниях цепочной системы.

Рис. 12.27. Крутильные колебания свютемы из двух дисков и вала

Пример. Рассмотрим крутильные колебания - динамической модели, состоящей из двух дисков, соединенных валом (рис. 12.27), Применяя уравнение (159) при находим

Испытывают деформации сдвига. Имеют место в разл. машинах с вращающимися валами: в поршневых двигателях, турбинах, генераторах, редукторах, трансмиссиях транспортных машин.

К. к. возникают в результате неравномерности периодич. момента как движущих сил, так и сил сопротивления. Неравномерность крутящего момента вызывает неравномерность изменения угловой скорости вала, т. е. то , то замедление вращения. Обычно вал представляет собой чередование участков с малой массой и упругой податливостью с более жёсткими участками, на к-рых закреплены значит. массы. В каждом сечении вала будет своя степень неравномерности вращения, поскольку в одинаковый промежуток времени массы проходят разные углы и, следовательно, движутся с разными скоростями, что создаёт переменное вала и динамич. знакопеременные напряжения, гл. обр. касательные.

При совпадении частот собств. колебаний системы с частотой периодич. крутящего момента движущих сил и сил сопротивления возникают резонансные колебания. В этом случае повышается уровень динамич. переменных напряжений; возрастает акустич. , излучаемый работающей машиной. Динамич. знакопеременные напряжения при неправильно выбранных (заниженных) размерах вала, недостаточной прочности его материала и возникновении резонанса могут превысить предел выносливости, что приведёт к усталости материала вала и его разрушению.

При расчёте К. к. валов машин часто пользуются расчётной схемой с двумя дисками, соединёнными упругим стержнем, работающим на кручение. В этом случае собств. частота

где I 1 - момент инерции 1-го диска, I 2 - момент инерции 2-го диска, С -крутильная стержня, Для круглого стержня диаметром d и длиной l С где G - модуль сдвига. Более сложные расчётные схемы содержат большее число дисков, соединённых стержнями и образующих последоват. цепи, а иногда - разветвлённые и кольцевые цепи. Расчёт собств. частот форм и вынужденных К. к. по этим расчётным схемам производится на .

Др. примером К. к. является крутильный , к-рый представляет собой диск, закреплённый на одном конце стержня, работающего на кручение и жёстко заделанного др. концом. Собств. частота такого маятника где I - момент инерции диска. Приборы с использованием крутильного маятника применяют для определения модуля упругости при сдвиге, коэф. внутр. трения твёрдых материалов при сдвиге, коэф. вязкости жидкости.

К. к. возникают в разнообразных упругих системах; в нек-рых случаях возможны совместные колебания с разл. видами деформации элементов системы, напр. изгибно-крутильные колебания. Так, при определ. условиях полёта под действием аэродинамич. сил иногда возникают самовозбуждающиеся изгибно-крутильные колебания крыла самолёта (т. н. флаттер), к-рые могут вызывать разрушение крыла.

Лит.: Ден-Гартог Д. П., Механические колебания, пер. с англ., М., 1960; Маслов Г. С., Расчёты колебаний валов. Справочник, 2 изд., М., 1980; Вибрации в технике. Справочник, под ред. В. В. Болотина, т. 1, М., 1978; Силовые передачи транспортных машин, Л., 1982. А. В. Синев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

Колебания элементов конструкций и машин, выражающиеся в периодически меняющейся деформации кручения (См. Кручение). Пример К. к. гармоническое движение крутильного маятника, представляющего собой упругий стержень, закрепленный одним… …

Один из видов колебаний упругих систем, при к рых отд. элементы системы испытывают деформации кручения. Пример К. к. движение крутильного маятника, представляющего собой упругий стержень, закреплённый одним концом, с массивным диском на другом.… … Физическая энциклопедия

крутильные колебания - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN torsional modestorsional oscillations … Справочник технического переводчика

крутильные колебания - 3.7 крутильные колебания: По ГОСТ Р ИСО 3046 5. Источник: ГОСТ Р 53638 2009: Двигатели внутреннего сгорания поршневые. Общие технические условия … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

крутильные колебания - sukamieji virpesiai statusas T sritis chemija apibrėžtis Molekulės atomų branduolių kvantuotojo judėjimo rūšis. atitikmenys: angl. torsion oscillations; torsion vibrations; torsional oscillations; torsional vibrations rus. крутильные колебания … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

крутильные колебания - sukamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. torsion oscillations; torsional oscillations; torsional vibrations vok. Drillungsschwingungen, f; Torsionsschwingungen, f; Verdrehungsschwingungen, f rus. крутильные колебания, n… … Fizikos terminų žodynas

крутильные колебания - torsion vibration Колебания, при которых происходит кручение элемента механизма. Шифр IFToMM: 3.9.26 Раздел: КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ … Теория механизмов и машин

КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ - см. также о словаре автоколебания автоколебательная система автономная колебательная система амплитуда … Теория механизмов и машин

Число колебаний в единицу времени, быстрота или частота колебаний, зависит от размеров, формы и природы тел. Высота звука, обуславливаемая числом колебаний звучащего тела в единицу времени, может быть определена различными способами (см. Звук).… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Многократно повторяющееся возвратно поступательное или возвратно вращательное движение элементов конструкций вследствие их упругих деформаций под действием сил, достаточно быстро меняющихся во времени. При К. к. элементы конструкций… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Крутильные колебания коленчатых валов , Нейман И.Ш. Крутильные колебания коленчатых валов Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1935 года (издательство`Академия`). В…

Рассмотрим теперь явление, называемое крутильными колебаниями.

Установка, позволяющая создавать крутильные колебания состоит из штатива с зажимом для закрепления тонкой металлической проволоки, на нижнем конце которой можно подвешивать различные твердые тела (рисю1.4.3). Жестко закрепив концы проволоки в точках Аи В, повернем тело на малый угол вокруг оси проволоки Z и отпустим его. Под действием сил упругости, возникающих при кручении проволоки, тело начнет совершать колебания вокруг оси Z. Их и называют крутильными колебаниями .

Так как это один из видов движения твердого тела вокруг фиксированной оси, то его уравнение движения запишется так (см. лаб. работу № 1.3)

где I – момент инерции подвешенного тела относительно оси проволоки Z, а - момент сил упругости, действующих на тело со стороны проволоки, относительно той же оси. Но в соответствии с уравнением (3) . Тогда, учитывая, что , уравнение (6) можно представить в виде

Это уравнение гармонических колебаний (см. лаб. работу №1.6). Его общее решение можно записать в виде

где - максимальный угол закручивания проволоки (амплитуда колебаний), - начальная фаза колебаний, - циклическая частота колебаний, определяемая формулой

Тогда период крутильных гармонических колебаний

Формулу (10) можно использовать для косвенного измерения как момента инерции тела относительно произвольной оси (ее выбор определяется точкой подвеса тела), так и (с учетом формулы (2)) модуля сдвига материала проволоки.

Измерение момента инерции и модуля сдвига

Момент инерции твердого тела в ряде случаев можно легко рассчитать теоретически. В частности, момент инерции однородного диска (цилиндра), используемого в работе в качестве эталонного тела, относительно оси симметрии Z (рис.1.4.3) задается формулой

где m и D – соответственно масса и диаметр диска.

Подвешивая на одной и той же проволоке эталонное тело с известным , а затем тело с неизвестным моментом инерции I, можно экспериментально определить промежутки времени и , в течение которых совершаются и колебаний эталонным телом и телом с неизвестным моментом инерции. Тогда в соответствии с (10)

Разделив почленно (13) на (12) , после возведения полученного равенства в квадрат находим

В процессе проведения эксперимента целесообразно выбрать . Тогда с учетом (11) для неизвестного момента инерции получаем следующую расчетную формулу

Для измерения модуля сдвига материала проволоки используется только эталонное тело. В этом случае из (11) и (12) с учетом (2) получаем

Порядок выполнения работы

1. Измерить диаметр и длину проволоки.

2. Измерить массу и диаметр эталонного диска.

3. Подвесить к проволоке эталонный диск и измерить время некоторого числа крутильных колебаний (угол закручивания не должен превышать 30°).

4. Подвесить к проволоке за одну из его точек тело с неизвестным моментом инерции (прямоугольная пластина) и измерить время t такого же как для эталонного диска числа колебаний. По формуле (15) рассчитать момент инерции этого тела.

5. Действия по пункту 4 проделать еще раз для двух других точек подвеса (определив таким образом моменты инерции прямоугольной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

6. По известному времени и соответствующему числу колебаний эталонного диска рассчитать по формуле (16) модуль сдвига материала проволоки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. С какими физическими величинами вы познакомились при изучении теории и в процессе выполнения работы. Дайте определения этих величии.

2. Какие физические законы необходимо знать для понимания настоящей лабораторной работы? Сформулируйте эти законы и объясните, как они применяются в работе.

3. Изобразите графически зависимость от времени , , и проекции момента сил упругости на ось Z.

4. Рассчитайте теоретически моменты инерции ряда тел (диск, цилиндр, шар, конус, прямоугольный параллелепипед относительно разных осей (задача конкретизируется преподавателем)). Сравните полученные результаты с экспериментальными.

5. Получите формулу для расчета момента инерции (15) и формулу для расчета модуля сдвига (16).

6. Справедливо ли следующее утверждение: “Если масса и радиусы шара и диска равны, то момент инерции шара меньше момента инерции диска?”

Литература

1 .Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 13,26,28-33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 38,39,41,43,53.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.5

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО

КОЛЕСА И СИЛЫ ТРЕНИЯ В ОПОРЕ

Цель работы:

1. Определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

2. Определить силу трения в опорных стойках оси.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси оо¢ (рис.1.5) называют величину (1) где - масса i – й материальной точки, на которые на которые мысленно разбито тело , R i - ее расстояние до выбранной оси. Если масса сосредоточена в элементарном объеме , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки тела

То и вместо (1) можно записать

Предлагаемый метод экспериментального определения момента инерции твердого тела основан на изменения механической энергии системы в процессе изучаемого движения (см. лаб.работу 1.2.).

где - кинетическая энергия системы, - ее собственная потенциальная энергия, - суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему, - суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

Если среди внешних сил имеются как консервативные, так и не-консервативные, то суммарная работа консервативных сил, если она не равна тождественно нулю, может быть представлена как убыль некоторой функции координат материальных точек системы , называемой потенциальной энергией системы во внешнем силовом поле. Например, система n – материальных точек, находящихся вне однородного шара массы М, обладает в его гравитационном поле потенциальной энергией вида

где и - соответственно масса i – й материальной точки и ее радиус - вектор, проведенный из центра шара, С - произвольная постоянная. С помощью выражения (4) легко показать, что в пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы поверхности Земли равна

где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли, h – высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии (это достигается фиксацией в (4) численного значения константы С).

Представляя теперь в виде

где - - убыль потенциальной энергии системы во внешнем поле, - суммарная работа внешних неконсервативных сил, вместо (3) получаем

величину

называют полной механической энергией системы во внешнем поле.

Предлагаемый в данной работе метод определения момента инерции махового колеса основан на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. В рассматриваемом случае на систему груз + маховик действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опоры, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения в опорных стойках махового колеса. Пренебрегая работой силы сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, пользуясь уравнением (7), запишем

где - работа силы трения в опоре.

Пусть в начальный момент времени подвешенный груз массой m (рис.1.5.2) Находится на высоте h (от наиболее низкого положе­ния, до которого может опустится груз. (рис.1.5.2). Тогда, учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии, начальная энергия рассматриваемой системы, в пренебрежении массой нити, будет равна

где П – сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле силы тяжести и собственной потенциальной энергии системы. Считая, что изменение последней в. процессе движения пренебрежимо мало, в нижней точке для полной энергии получаем

Так как, по предположению, движение груза равноускоренное, то в нижней точке

где t – время опускания груза. Поскольку нить сматывается со шкива без проскальзывания, то для угловой скорости в момент t имеем

где r - радиус шкива.

Представляя (15) - (17) в уравнение (12), после преобразований получаем искомую формулу для момента инерции:

Порядок выполнения работы

1. Определить при помощи технических весов массу подвешиваемого груза m.

2. Измерить штангенциркулем радиус шкива r.

3. Намотать на шкив нить с прикрепленным к свободному концу грузом. Установить груз на высоте h 1 . Высоту h 1 отсчитать от наиболее низкого положения, на которое может опускаться груз.

4. По секундомеру определить время движения груза от верхней точки до нижнего положения.

5. Определить высоту h 2 , на которую поднимется груз за счет инерции маховика.

7. Провести измерения для трех различных подвешенных грузов.

8. Вычислить погрешности измерений f и I.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие физические понятия используются в данной работе? Дайте их определение.

2. Сформулируйте закон изменения полной механической энергии системы во внешнем поле.

3. Какие силы называются консервативными? Эквивалентны ли понятия консервативных и потенциальных сил?

4. Запишите кинематические законы равноускоренного движения мате­риальной точки по прямой и окружности, а также формулу, связывающую линейную и угловую скорости частицы при ее движении по окружности.

5. Получить, пользуясь выражением (4), формулу (5), приняв за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли.

6. Обосновать вывод формулы для f и I. сформулировать все необходимые для этого предположения.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1989, §§ 19-22,38,39,41,45,46.

Тема. Крутильные колебания коленчатого вала.

Крутильные колебания , возникающие под влиянием внешних сил, называются вынужденными. Частота вынужденных колебаний равна частоте приложения возмущающих сил. Если частота вынужденных крутильных колебаний совпадает с частотой собственных, то возникает явление резонанса. При этом амплитуда колебаний будет возрастать до максимального размера, что может привести систему к разрушению.

Если на длинном валу закрепить через определенные промежутки несколько маховиков и повернуть их на некоторый угол, закрутив тем самым участки вала между маховиками, а затем отпустить, то получим сложные крутильные колебания (рис.95,б). Коленчатый вал дизеля можно также представить себе состоящим из упругих участков, между которыми закреплены массы, представляющие собой кривошипы с присоединенными к ним шатунами и поршнями. К этой системе добавляется также вращающаяся масса якоря генератора, присоединенного к коленчатому валу через дизель-генераторную муфту.

Во время работы дизеля на коленчатый вал действуют усилия от давления газов на поршни и инерционные усилия от движущихся частей. Воздействия эти регулярно повторяются в определенной последовательности и с частотой, пропорциональной частоте вращения коленчатого вала. Благодаря переменному характеру приложения вращающего момента массы, закрепленные на валу, будут совершать крутильные колебания, при которых происходит периодическое закручивание и раскручивание упругих участков вала.

Рис 95. Системы крутильных колебаний:

а – одномассовая; б – многомассовая.

Многомассовая система будет иметь не одну частоту собственных колебаний, а несколько (на единицу меньше числа закрепленных маховиков).

Крутильные колебания накладываются на установившееся вращение вала. Так как коленчатый вал дизеля имеет несколько вращающихся масс, то он имеет и несколько собственных частот крутильных колебаний.

Например, коленчатый вал дизеля ПД1М, несущий шесть цилиндровых масс и массу генератора, имеет шесть собственных частот колебаний 5100, 13 700, 22 000 кол/мин и т. д. При работе дизеля частота изменения возмущающих сил - сил инерции и сил от давления газов - пропорциональна частоте вращения вала.

Частоту возмущающей силы , равную частоте вращения вала дизеля, называют основной частотой, или 1-й гармоникой. Возмущающие силы в дизелях обычно состоят из нескольких гармоник. Если частота какой-либо гармонической составляющей совпадает с одной из собственных частот валопровода, то наступает резонанс. Частота вращения вала, при которой возникает резонанс, называется критической. Работа дизеля при критической частоте недопустима, так как при этом наблюдается тряска его, быстрый износ и разрушение подшипников, а иногда поломка коленчатого вала и других деталей.

Чтобы предотвратить эти явления, изменяют размеры вала, маховые массы, расположение их, увеличивают жесткость вала, уменьшают массу поршневой группы, с тем чтобы рабочий диапазон вращения вала удалить от критической частоты. Однако часто бывает и этого недостаточно, тогда для гашения резонансных крутильных колебаний применяют демпферы (гасители) или маятниковые антивибраторы.

Демпферы - создают сопротивления крутильным колебаниям и гасят их энергию и при резонансных частотах снижают амплитуду углов поворота масс.

Антивибраторы - изменяют частоты собственных колебаний вала так, чтобы они не совпадали с гармоническими составляющими возбуждающих моментов.

Работа маятникового антивибратора на схеме (рис. 96, а, б, в). Прохождение груза из одного крайнего положения в другое, а затем возвращение его в первоначальное крайнее положение называется полным колебанием, а время прохождения грузов указанного расстояния - периодом колебания. На схеме (рис. 96, а) груз А подвешен на стержне и при приложении силы совершает свободные колебания с определенной угловой амплитудой, максимальное значение которой составляет Ф1 Подвесив к системе дополнительный груз Б (рис. 96, б) и приложив ту же силу, что и в первом случае, амплитуда колебаний грузов будет меньше и частота свободных колебаний будет другой чем частота колебаний груза А.

На этом принципе устроены и тепловозные антивибраторы маятникового типа. К диску 1 вала по периметру подвешиваются с ограниченной подвижностью дополнительные грузы 3 (рис. 96, в), положение которых при вращении вала определяет частоту и амплитуду свободных колебаний вала. При равномерном вращении вала (ускорение е = 0) грузы 3 остаются в среднем положении. Если по какой-либо причине частота вращения вала начинает возрастать (е>0), приближаясь к критической, грузы 3 в силу своей инерционности будут сохранять первоначальную частоту вращения, отклоняясь назад и препятствуя закручиванию вала, изменяя частоту собственных его колебаний.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика»

№ 3. Определение моментов инерции тел с помощью трифилярного подвеса

Лабораторная работа № 3

Определение моментов инерции тел

с помощью трифилярного подвеса

и проверка теоремы Штейнера

Цель работы

Определение моментов инерции некоторых тел методом крутильных колебаний с помощью трифиллярного подвеса;

Проверка теоремы Штейнера.

Приборы и принадлежности

Трифиллярный подвес, секундомер, линейка, штангенциркуль, исследуемые тела (два диска-груза).

Краткая теория

Одним из методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифиллярного подвеса, совершающего крутильные колебания.

Поэтому, вначале определим, какие колебания называются крутильными, затем ознакомимся с устройством трифиллярного подвеса.

Рис. 1. Крутильные колебания

Гармоническими крутильными колебаниями тела называются периодические движения относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, когда угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. 1 ):

где – амплитуда колебаний;

– период колебаний.

Устройство трифиллярного подвеса

Трифиллярный подвес состоит из подвижного диска платформы Р (в дальнейшем просто платформа) массой, радиуса, подвешенного на трех симметрично расположенных нитях (рис 2. a ). Наверху эти нити симметрично закреплены по краям диска Р" меньшего радиуса.

При повороте верхнего диска P" на небольшой угол вокруг вертикальной оси OO" все три нити принимают наклонное положение. Центр тяжести системы несколько приподнимается по оси вращения OO" (рис. 2. b ).

Рис. 2. Трифилярный подвес

Период крутильных колебаний и момент инерции плат­формы

Пусть при вращении платформа поднимется на высоту, тогда приращение ее потенциальной энергии равно

где – ускорение свободного падения.

При вращении платформы в обратную сторону потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

где – момент инерции платформы;

– ее угловая скорость.

В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия максимальна . Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии можно записать для колеблющейся платформы

Угловую скорость платформы можно найти, взяв производную по времени от (см. (1))

Очевидно, что

Найдем величинупри поворотах платформы на угол 0 , считая, что (– длина нити)

(4)

Из рис. 2 а, b видно, что

Подставляя значенияив формулу (4) получим

Ввиду малости угла  0 синус заменим аргументом

Подставляя выражения (3) и (5) в формулу (2), получим окончательно

Поскольку параметры прибора,,во время опыта не меняются, формулу (6) удобно применять в виде

Аддитивность моментов инерции

Аддитивность (лат. additivus – прибавляемый) - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям.

Например, аддитивность объёма означает, что объём целого тела равен сумме объёмов составляющих его частей. Примеры аддитивных величин: энергия, импульс, энтропия, мощность, давление, электрический заряд.

Общий момент инерции нескольких тел равен сумме моментов инерции отдельных тел, если центр масс каждого из них лежит на оси вращения.

Если на платформу поместить некоторое тело массой, так, чтобы равномерное натяжение нитей не нарушалось, то момент инерцииэтой системы находят по формуле (6) или (7), где вместобудет сумма масс .

А так как момент инерции величина аддитивная , т.е., то можно определить момент инерции исследуемого тела:

где ,– момент инерции платформы и груза.

Теорема Штейнера

Момент инерции телаотносительно произвольной осиAA ’ равен сумме момента инерциитела относительно осиBB ’ , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С , и произведения массы телана квадрат расстояниямежду осями (рис. 3 )

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси AA ’ , равен моменту инерции относительно оси BB ’ , проходящей через центр масс, плюс

Таким образом, с удалением центра масс тела от оси вращения его момент инерции относительно этой оси возрастает. Момент инерции системы тел зависит не только от его массы, но и от распределения масс в системе относительно оси вращения.

Рис. 3. Теорема Штейнера

Ход работы

где – число полных колебаний.

Таблица 1.1

Среднее значение

Таблица 1.2

Таблица 2.1

Среднее значение

Определить момент инерции платформы с грузами в центре по формуле (6).